岩澤不変量の計算

田谷久雄 (東北大学大学院情報科学研究科)

taya@math.is.tohoku.ac.jp

福田隆 (日本大学生産工学部)

nekoma@math.cit.nihon-u.ac.jp

第 8 回 JANT シンポジウム２００２年９月５日東京都立大学 p : 素数、 k : 有限次代数体 \underline{Def} K/k : ℤ_{p}-ext. ⟺ K/k : Galois ext., G(K/k) ≅ ℤ_{p}

k = k_{0} ⊂ k_{1} ⊂ k_{2} ⊂ ⋯ ⊂ K , G(k_{n}/k) ≅ ℤ/p^{n}ℤ

h(k_{n}) = p^{e_{n}}q , (p, q) = 1 Theorem 0.1 (岩澤). ∃ μ, λ, ν ∈ ℤ s.t. μ, λ ≥ 0

e_{n} = μp^{n} + λn + ν (n >> 0)

μ = μ(K/k), λ = λ(K/k), ν = ν(K/k) : 岩澤不変量

問題. 任意の ℤ_{p}-ext K/k に対し μ(K/k), λ(K/k), ν(K/k) を具体的に計算するアルゴリズムを作れ。 \underline{μ, λ の代数的意味} L/K : 最大不分岐アーベル p-ext. X = G(L/K) : Γ = G(K/k)-module by

σx = σ̃xσ̃^{−1} (σ ∈ Γ, x ∈ X, σ̃ : an ext of σ to L)

Fix an top gen γ ∈ Γ. Λ = ℤ_{p}[[T]] ≅ ℤ_{p}[[Γ]]

1 + T ↔ γ

X : 有限生成 torsion Λ-module \underline{有限生成 Λ-module の構造定理}

X ∼ ⨁_{i} Λ/(p^{m_{i}}) ⊕ ⨁_{j} Λ/(f_{j}(T)^{n_{j}})

f_{j}(T) : distinguished irred. poly. ∈ ℤ_{p}[T] μ(K/k) = ∑_{i} m_{i} , λ(K/k) = ∑_{j} n_{j}degf_{j}(T)

\underline{Def} Char(X) = ∏_{i} p^{m_{i}} ∏_{j} f_{j}(T)^{n_{j}} : X の特性多項式 (岩澤多項式)

問題. 任意の ℤ_{p}-ext K/k に対し Char(X) を具体的に計算するアルゴリズムを作れ。

現状： μ(K/k), λ(K/k), ν(K/k), Char(X) を計算する一般的なアルゴリズムは知られていない。 \underline{重要な ℤ_{p}-ext.} cyclotomic ℤ_{p}-ext

∃ 1 ℚ_{∞}/ℚ : ℤ_{p}-ext. s.t. ℚ_{∞} ⊂ ∪_{n≥0}ℚ(ζ_{p^{n}}) k_{∞} = kℚ_{∞} : the cyclotomic ℤ_{p}-ext. μ_{p}(k) = μ(k_{∞}/k), λ_{p}(k) = λ(k_{∞}/k), ν_{p}(k) = ν(k_{∞}/k)

予想 0.1 (岩澤). 任意の素数 p および任意の有限次代数体 k に対し、 μ_{p}(k) = 0 であろう。予想 0.2 (Greenberg). 任意の素数 p および任意の有限次総実代数体 k に対し、 μ_{p}(k) = λ_{p}(k) = 0 であろう。

Theorem 0.2 (Ferrero-Washington). k/ℚ がアーベル拡大なら、任意の素数 p に対し μ_{p}(k) = 0

k/ℚ がアーベルの時は Char(X) を計算できる。 p : 奇素数

A_{n} : k_{n} のイデアル類群の p-part, J : 複素共役

A_{n}^{+} = {a ∈ A_{n} | J(a) = a }, A_{n}^{−} = {a ∈ A_{n} | J(a) = −a },

A_{n} = A_{n}^{+} ⊕ A_{n}^{−}, X = X^{+} ⊕ X^{−} λ = λ^{+} + λ^{−}, μ = μ^{+} + μ^{−}, ν = ν^{+} + ν^{−} \underline{Greenberg Conj} Char(X^{+}) = 1 市村・隅田, Schoof, 栗原等による判定法がある。

\underline{岩澤主予想} Char(X^{−}) ⟷ p-進 L-関数 ⟷ Stickelberger 元 Mazur-Wiles により証明された。

k/ℚ : アーベル拡大、 p^{2} |̸ cond(k), p |̸ [k : ℚ] q_{0} = lcm(cond(k), p), q_{n} = q_{0}p^{n}, Γ_{n} = G(k_{n}/k) χ を ω と異なる Δ = G(k/ℚ) の奇指標とする． χ に対し， Stickelberger 元

ξ_{n}^{χ} = \frac{1}{q_{n}} ∑_{{a=1 \atop (a,qn)=1}}^{q_{n}} aχ^{−1}(a)γ_{n}(a)^{−1} ∈ ℤ_{p}[χ][Γ_{n}]

から，対応 (\frac{ℚ_{n}/ℚ}{1+q_{0}}) ↔ 1 + T により g_{n}^{χ}(T) ∈ Λ_{χ} = ℤ_{p}[χ][[T]] を作る．

ℤ_{p}[χ] の極大イデアルの生成元を π とする時， g(T) = ∑_{i=0}^{∞} a_{i}T^{i} ∈ Λ_{χ} に対し， Weierstrass 次数 deg_{w}g が

deg_{w}g = \begin{cases}min\{i | a_{i} ≢ 0 (mod π)\} , & g ≢ 0 (mod π) \\ ∞ , & g ≡ 0 (mod π) \end{cases}

で定義される．もしある n ≥ 1 に対し deg_{w}g_{n}^{χ} < ∞ であれば λ_{p}^{−}(k) = ∑_{χ∈Δ̂,χ(−1)=−1}[ℚ(χ) : ℚ]deg_{w}g_{n}^{χ} が求まる．更に，その逆極限\underleftarrow{lim} g_{n}^{χ} の多項式部分を取り出せば X^{χ} の特性多項式も得られる．

Remark. λ_{χ} = deg_{w}g_{n}^{χ} は岩澤主予想からの帰結であるが，主予想を仮定しなくても λ_{p}^{−}(k) = ∑_{χ∈Δ̂,χ(−1)=−1}[ℚ(χ) : ℚ]deg_{w}g_{n}^{χ} を示すことはできる．実際，円分体の場合は Iwasawa-Sims や Johnson が，虚二次体の場合は Gold が λ_{p}(k) を計算していた。

k = ℚ(\sqrt{m}) を虚二次体 (m は平方因子をもたない負整数) とする．奇素数 p に対し， λ_{p}(k), ν_{p}(k) 及び k の岩澤多項式を計算する方法を説明する．

χ を k に付随する非自明な指標とする． −d を k の判別式， q_{0} を d と p の最小公倍数， q_{n} = q_{0}p^{n} とする．このとき k_{n} の Stickelberger 元は

ξ_{n} = \frac{1}{q_{n}} ∑_{{a=1 \atop (a,qn)=1}}^{q_{n}} aχ(a) (\frac{ℚ_{n}/ℚ}{a})^{−1} ∈ ℤ_{p}[Σ_{n}]

で与えられる．ここで (\frac{ℚ_{n}/ℚ}{a}) は Artin 記号であり， Σ_{n} = G(ℚ_{n}/ℚ) とする．

Remark. 実際に計算を行ってみると p = 3, k = ℚ(\sqrt{−3}) の場合を除き， ξ_{n} ∈ ℤ[Σ_{n}] となっている．

対応 (\frac{ℚ_{n}/ℚ}{1+q_{0}}) ↔ 1+T により， ξ_{n} から g_{n}(T) ∈ ℤ_{p}[T] を作り， g(T) = \underleftarrow{lim} g_{n}(T) ∈ Λ とおく． g(T) の多項式部分 f(T) が k の岩澤多項式，すなわち k_{∞} の最大不分岐アーベル p 拡大の特性多項式である． f(T) は g_{n}(T) を使って近似できるが，その時 λ = λ_{p}(k) が必要となる． g_{n}(T) = ∑_{i=0}^{p^{n}−1} a_{i}T^{i} の係数を低次の方から求め，初めて a_{i} ≢ 0 (mod p) となる i が λ である． a_{i} ≢ 0 (mod p) となる i が 0 ≤ i ≤ p^{n} − 1 の範囲になければ n を大きくして g_{n}(T) を計算する． λ が定まれば f(T) は次の補題で与えられる． Lemma 0.1. deg_{w}g_{n}(T) = λ (0 < λ < ∞) とし λ ≤ p^{r} とする． Λ 上のシフト作用素 τ を

τ(∑_{i=0}^{∞} a_{i}T^{i}) = ∑_{i=λ}^{∞} a_{i}T^{i−λ}

で定め， g_{n}(T) = pP_{n}(T) + T^{λ}U_{n}(T), U_{n} = τ(g_{n}) と書く．この時，

f(T) ≡ \frac{g_{n}(T)}{U_{n}(T)} ∑_{j=0}^{∞}(−1)^{j}p^{j}(τ ∘ \frac{P_{n}}{U_{n}} )^{j} ∘ 1 (mod p^{n+1−r})

である．

ここで ∘ の意味は (τ ∘ \frac{P_{n}}{U_{n}} )∘1 = τ(\frac{P_{n}}{U_{n}}), (τ ∘ \frac{P_{n}}{U_{n}} )^{2} ∘1 = τ(\frac{P_{n}}{U_{n}} τ(\frac{P_{n}}{U_{n}})) であり，以下同様に定めていく．右辺の冪級数は多項式になるのであるが mod p^{n+1−r} で求めればよいので j は n − r まで動かせばよい．

Stickelberger 元を使えば λ_{p}(k) だけでなく岩澤多項式も求めることができるが， λ_{p}(k) を求めるだけであれば， Gold による次の方法がある．

Lemma 0.2. |A_{n}| = p^{e_{n}} とする．

(1) p が k で分解しない場合：ある n ≥ 1 に対し e_{n} − e_{n−1} < φ(p^{n}) であれば，全ての m ≥ n に対し e_{m} − e_{m−1} = e_{n} − e_{n−1} である．特に λ_{p}(k) = e_{n} − e_{n−1}．

(2) p が k で分解する場合：ある n ≥ 1 に対し e_{n} − e_{n−1} ≤ φ(p^{n}) であれば，全ての m ≥ n に対し e_{m} − e_{m−1} = e_{n} − e_{n−1} である．特に λ_{p}(k) = e_{n} − e_{n−1}．

つまり e_{n} − e_{n−1} が計算できれば λ_{p}(k) は求まる． Bernoulli 数を用いた解析的類数公式から e_{n} を計算することはできるが，実は e_{n} − e_{n−1} はもっと高速に求めることができる．

m ≢ 0 (mod p) と仮定する． g を mod p^{n+1} の原始根とし， g(s) ∈ ℤ (s ≥ 0) を

g(s) ≡ g^{s} (mod p^{n+1}), 0 < g(s) < p^{n+1}

で定義する．更に s ∈ ℤ 及び r ≥ 0 に対し， s_{r} ∈ ℤ を

s_{r} ≡ s (mod p^{r}), 0 ≤ s_{r} < p^{r}

で定義する． yp^{n+1} ≡ 1(mod d) となる y ∈ ℤ をとり

c_{s} = ∑_{i=0}^{p−2} {α(y · g(s + ip^{n})) − α(y · g(s_{n−1} + ip^{n} + φ(p^{n})))} (s ≥ 0)

とおく．ここで α(r) = ∑_{i=1}^{r−1} χ(i) である．この時， Lemma 0.3. m ≢ 0(mod p) の時，任意の n ≥ 1 に対し，

e_{n} − e_{n−1} = ord_{𝔭}( ∑_{s=0}^{φ(p^{n})−1} c_{s}ζ_{p^{n}}^{s})

である．ここで 𝔭 = (1 − ζ_{p^{n}})．

α(r) の r は mod d で考えればよく， c_{s} が動く時にオーバーラップする α(r) の部分を一度だけ計算するようにすれば c_{s} (0 ≤ s ≤ φ(p^{n})−1) の計算時間は n に依らない．つまり p がある程度小さければ e_{n} − e_{n−1} の計算時間は n に依らない．例 0.1. p = 3, k = ℚ(\sqrt{−239}) とする．補題0.3 を使うと e_{1} − e_{0} = 3, e_{2} − e_{1} = 6 となり， 3 は k で分解するから補題0.2 より λ_{3}(k) = 6 となる．更に， n ≥ 2 の時 e_{n} −e_{n−1} = 6 であるから， e_{n} = 6n−2 (n ≥ 2) となる．つまり ν_{3}(k) = −2． PARI を使うと

A_{n} ≅ \begin{cases}ℤ/3ℤ & n = 0 \\ ℤ/3^{2}ℤ ⊕ (ℤ/3ℤ)^{2} & n = 1 \\ ℤ/3^{3}ℤ ⊕ (ℤ/3^{2}ℤ)^{2} ⊕ (ℤ/3ℤ)^{3} & n = 2 \end{cases}

が判り，これより

A_{n} ≅ ℤ/3^{n+1}ℤ ⊕ (ℤ/3^{n}ℤ)^{2} ⊕ (ℤ/3^{n−1}ℤ)^{3} (n ≥ 2)

を示すことができる．また ξ_{8} より

f(T) ≡ T^{6} + 1284T^{5} + 1404T^{4} + 672T^{3} + 1764T^{2} + 1128T (mod 3^{7})

となることもわかる．例 0.2. p = 3, k = ℚ(\sqrt{−956238}) とする．このとき 956238 = 2 · 3 · 197 · 809 だから補題0.3 は使えない． Stickelberger 元の計算より

g_{3}(T) = −624 + 576T + 25848T^{2} − 69384T^{3} − 1998720T^{4} − 13431696T^{5}

−55337508T^{6} − 165850896T^{7} − 388639944T^{8} − 740867904T^{9}

−1177738920T^{10} − 1587027648T^{11} − 1832806896T^{12}
−1827033540T^{13} − 1578623008T^{14} + ⋯

となり， λ_{3}(k) = 14 である，更に、 Coates-Lichtenbaum より A_{n} ≅ ℤ_{p}[Σ_{n}]/(ξ_{n}) (n ≥ 0) であり，従って

A_{n} ≅ \begin{cases}ℤ/3ℤ & n = 0 \\ (ℤ/3ℤ)^{3} & n = 1 \\ (ℤ/3ℤ)^{9} & n = 2 \\ (ℤ/3^{2}ℤ)^{9} ⊕ (ℤ/3ℤ)^{5} & n = 3 \end{cases}

となる．これより e_{1} − e_{0} = 2, e_{2} − e_{1} = 6, e_{3} − e_{2} = 14 となり，補題0.2 より e_{n} − e_{n−1} = 14 (n ≥ 3)．ゆえに e_{n} = 14n − 19 (n ≥ 3) となり ν_{3}(k) = −19．更に

A_{n} ≅ (ℤ/3^{n−1}ℤ)^{9} ⊕ (ℤ/3^{n−2}ℤ)^{5} (n ≥ 3)

となることも判る． k の判別式が大きいので PARI を使って A_{n} (1 ≤ n ≤ 3) を求めることはできないことに注意しておく．また ξ_{9} より

f(T) ≡ T^{14} + 1926T^{13} + 1023T^{12} + 477T^{11} + 2130T^{10} + 1497T^{9}
+1041T^{8} + 1209T^{7} + 804T^{6} + 1011T^{5} + 30T^{4} + 1002T^{3}
+312T^{2} + 510T + 804 (mod 3^{7})

が得られる． f(T) は mod 3^{2} で既約だから ℤ_{3} で既約．今の場合， X が非自明な有限 Λ-部分加群をもたないことに注意すると

X ≅ Λ/(f(T))

ここで説明したアルゴリズムは TC に実装されている． TC は都立大学の ftp サーバより入手可能．数表も都立大においてある。参考までに p = 3, −10000000 < m < 0 に対する λ の分布は次のようになる．

\begin{matrix}λ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ 分岐 & 890546 & 409063 & 145360 & 49796 & 16750 & 5 517 & 1864 & 613 & 218 & 50 & 24 & 8 & 1 & 1 & 2 \\ 惰性 & 1327112 & 617243 & 220648 & 76138 & 25595 & 8666 & 2939 & 912 & 329 & 112 & 28 & 12 & 4 & 2 & 1 \\ 分解 & 0 & 1320935 & 618333 & 225217 & 76691 & 25554 & 8622 & 2956 & 939 & 311 & 123 & 44 & 6 & 3 & 2 \end{matrix}

Theorem 0.3 (尾崎). p : 素数。 {pi+q_{i}(p−1) | 0 ≤ i ≤ p−2, −i ≤ q_{i} ≤ 0} ⊂ { λ_{p}(k) | k : imag quad } なら、任意の λ-不変量をもつ cyclotomic ℤ_{p}-ext が存在する。

Corollary 0.4. 任意の λ-不変量をもつ cyclotomic ℤ_{3}-ext が存在する。

Corollary 0.5. 任意の λ-不変量をもつ cyclotomic ℤ_{5}-ext が存在する。 non-cyclotomic ℤ_{p}-ext の特性多項式の例 p = 5, K = ℚ(\sqrt{−1}), (p) = (1 + 2i)(1 − 2i) in K, π = −(1 + 2i) E : y^{2} = x^{3} − 507x, f = 156 : the conductor of E over K E_{π^{n}} = { P ∈ E | π^{n}P = 0 } F_{n} = K(E_{π^{n+1}}), F_{∞} = ∪F_{n} : F_{0} の ℤ_{p}-ext, π の外不分岐 L_{∞} : F_{∞} の最大不分岐アーベル p-拡大, X = G(L_{∞}/F_{∞}) γ_{0} : top gen of G(F_{∞}/F_{0}) s.t.

γ_{0} |_{F_{n}}= (\frac{F_{n}/K}{1 + pf} )

\underline{Greenberg} T − 780 | Char(X) \underline{Perrin-Riou Conj} T − 780 || Char(X) \underline{小松・福田}Char(X) = T − 780, λ(F_{∞}/F_{0}) = 1

岩澤主予想が証明された現在，マイナス部分に限れば岩澤不変量や岩澤多項式を具体的に計算するアルゴリズムは確立したわけだが，これらはまだまだ素朴なアルゴリズムであると言わねばならない．例えば虚二次体 ℚ(\sqrt{m}) の λ を計算する Gold のアルゴリズムは Stickelberger 元を用いる方法に較べるとずっと高速であるが， |m| ∼ 10^{10} 程度が限界であろう．一方イデアル類群であれば McCurley や Buchmann-Düllmann 等により |m| ∼ 10^{50} 程度迄計算可能である． \underline{修論のテーマその１}素数 p を固定し虚二次体 k を動かす時、 λ_{p}(k) は有界か？

\underline{注}講演後に木村巌氏が指摘されたように、 k を固定し p を動かした時の λ_{p}(k) の振舞を考えることも、もとろん興味ある問題である。

\underline{修論のテーマその２}Gold のアルゴリズムによれば虚二次体の e_{n}−e_{n−1} を計算する時間は p が小さければ n に依らない。つまり |A_{n}| は n に比例する時間で計算できる。 Stickelberer 元 ξ_{n} を n に比例する時間で計算するアルゴリズムを開発せよ。

\underline{学位のテーマ}虚二次体の岩澤不変量はイデアル類群と同程度の時間で計算可能か？