UBASIC による岩澤多項式の計算^{水沢 靖（早稲田大学）}

1

§ 0 参考文献

[FT] T. Fukuda and H. Taya, 岩澤不変量の計算, 日本応用数理学会論文誌 vol. 12, No. 4 (2002), 293-306.

[IS] H. Ichimura and H. Sumida, On the Iwasawa invariants of certain real abelian fields II, International J. Math. 7 (1996), 721-744.

[Was] L. C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, 2nd ed. Graduate Texts in Math. vol. 83, Springer (1997).

§ 1 円分ℤ_{p} 拡大と岩澤加群 p ：素数 k ：有限次代数体 ζ_{p^{n}} = exp (\frac{2πi}{p^{n}}) ： 1 の原始 p^{n} 乗根（ n ∈ ℕ ） k ⊂ ∃1 k_{∞} ⊂ k(ζ_{p^{n}} | n ∈ ℕ) s.t. Γ = Gal(k_{∞}/k) ≃ ℤ_{p} （加法群） ● k_{∞} ： k の円分ℤ_{p} 拡大 k_{n} ： n-th layer , Γ^{p^{n}} = Gal(k_{∞}/k_{n}) , Gal(k_{n}/k) ≃ ℤ/p^{n}ℤ A_{n} = Cl_{p}(k_{n}) ： k_{n} のイデアル類群のp-Sylow部分群 ● X := lim_{⟵} A_{n} （ノルム写像による射影極限）：岩澤加群 § 2 岩澤多項式 γ ∈ Γ = Gal(k_{∞}/k) ： Γの位相的生成元（固定）

Λ := ℤ_{p}[[Γ]] = lim_{⟵}ℤ_{p}[Γ/Γ^{p^{n}}] ≃ ℤ_{p}[[T]] ： γ ↔ 1 + T

（ Λをℤ_{p} 上の一変数冪級数環 ℤ_{p}[[T]] と同一視する。） ● Λ加群 X = lim_{⟵} A_{n} は Λ上有限生成 torsion ∃ f_{j}(T) ∈ ℤ_{p}[T] ：（有限個の）既約 distinguished 多項式（ f ： distinguished :⟺ f ： monic, ≡ T^{deg f} mod p ）

0 → (有限) → X → ⨁ ; i Λ/( p^{m_{i}}) ⨁ ⨁ ; j Λ/( f_{j}^{n_{j}} ) → (有限) → 0

● P (T) := ∏ ; i p^{m_{i}} ∏ ; j f_{j}(T)^{n_{j}} ：岩澤多項式（ k_{∞} に対して一意的）

μ := ∑ ; i m_{i}, λ := deg P (T) = ∑ ; j n_{j}deg f_{j}(T)

●岩澤類数公式： ∃ ν ∈ ℤ , #A_{n} = p^{λn+μp^{n}+ν} （ ∀n >> 0 ） λ, μ, ν ：岩澤不変量 k_{∞}/k ：円分ℤ_{p} 拡大予想（岩澤） μ = 0、即ち p |̸ P (T) ？定理（ Ferrero-Washington ） k がℚ上アーベル拡大ならば μ = 0 Greenberg予想 k が総実ならば λ = μ = 0、即ち P (T) = 1 ？ § 3 虚２次体の円分ℤ_{p} 拡大の岩澤多項式 k ：虚２次体 D_{k} ： k の判別式 p ：奇素数 ● Ferrero-Washingtonの定理により μ = 0、即ち p |̸ P (T) χ ： k に対応するDirichlet指標（ |D_{k}| を法とするKronecker記号） q ： p と |D_{k}| の最小公倍数 Γ = Gal(k_{∞}/k) ≃ Gal(ℚ_{∞}/ℚ) （同一視）、 ℚ_{∞} ⊂ ℚ(ζ_{p^{n}} | n ∈ ℕ) γ := ( ζ_{p^{n}} → ζ_{p^{n}}^{1+q} ( ∀ n ∈ ℕ) )|_{ℚ_{∞}} ： Γの位相的生成元 Λ = ℤ_{p}[[Γ]] ≃ ℤ_{p}[[T]] ： γ ↔ 1 + T （同一視）

θ_{n} := −\frac{1}{qp^{n}} ∑ ; 0<a<qp^{n}, (a,q)=1 a χ(a)(\frac{ℚ_{n}/ℚ}{a}) ∈ ℤ_{p}[Γ/Γ^{p^{n}}]

（ Stickelberger元） ℤ_{p}[Γ/Γ^{p^{n}}] ≃ ℤ_{p}[T]/( (1 + T)^{p^{n}} − 1 ) γ mod Γ^{p^{n}} ↔ 1 + T mod (1 + T)^{p^{n}} − 1 θ_{n} ↔ g_{n}(T) mod (1 + T)^{p^{n}} − 1 : ∃ g_{n}(T) ∈ ℤ_{p}[T], deg g_{n}(T) < p^{n} ● f(T) := lim_{⟵} g_{n}(T) ∈ Λ ：岩澤冪級数 f( (1 + q)^{s} − 1 ) = L_{p}(s, ωχ) ： p進L関数（ ω ： Teichimülar指標） P (T) ：虚２次体 k の円分ℤ_{p} 拡大 k_{∞} の岩澤多項式岩澤主予想（ Mazur-Wilesの定理） ∃ U(T) ∈ Λ^{×} ： f(T) = U(T) × P (T)

● g_{n}(T) ≡ f(T) mod (1+T)^{p^{n}} −1、 g_{n}(T) = p^{n}−1 ; ∑ ; i=0 a_{i} T^{i} ∈ ℤ_{p}[T]

p |̸ a_{p^{n}−1} ならば、 λ = deg P (T) = min { i | p |̸ a_{i} }

シフト作用素 τ ： Λ → Λ τ ( ∞ ; ∑ ; i=0 c_{i} T^{i} ) := ∞ ; ∑ ; i=0 c_{i+λ} T^{i} （ ℤ_{p}線型）

g_{n}(T) = R_{n}(T) + T^{λ}V_{n}(T) deg R_{n}(T) < λ, p | R_{n}(T), V_{n}(T) = τ( g_{n}(T) ) ∈ Λ^{×}

𝕋 := −1 · τ · \frac{R_{n}(T)}{V_{n}(T)} （ Λ上のℤ_{p} 線型作用素）

r := min { z ∈ ℕ | λ ≤ p^{z} }

命題（ [FT], [IS], [Was] ） P (T) ≡ \frac{g_{n}(T)}{V_{n}(T)} n−r ; ∑ ; j=0 𝕋^{j} ·1 mod p^{n−r+1}

p = 3、 k ≠ ℚ(√−3)の場合

g_{n}(T) ≡ −\frac{2}{q/p} p^{n}−1 ; ∑ ; i=0 \{ \frac{q}{p}−1 ; ∑ ; j=1 j χ( s_{n}( (1 + q)^{i}) + jp^{n} ) \} (1 + T)^{p^{n}−i}

mod (1+T)^{p^{n}}−1

0 ≤ s_{n}( (1 + q)^{i}) < p^{n+1} , s_{n}( (1 + q)^{i}) ≡ (1 + q)^{i} mod p^{n+1} § 4 近似計算のアルゴリズム虚２次体 k と近似するp冪の指数 n を入力して P (T) mod p^{n−r+1} を出力 step1 g_{n}(T)の 1 + T による係数を mod p^{n} で求める。 step2 g_{n}(T)の T による係数を低次の方から計算し、 λ を確定する。（確定しない場合はnを増やしてやり直す。） step3 g_{n}(T)の T による係数を mod p^{n−r+1} で min { p^{n} − 1, (n − r + 2)λ − 1} 次まで求める。 step4 命題より、 P (T)の λ − 1 次までの係数をmod p^{n−r+1} で求める。 UBASIC での計算における注意点 ●各多項式は、その係数を配列として扱って計算する。 ● g_{n}(T)の 1 + T による係数は全て求めなければならないので、必要とする配列の長さは p^{n} = 1 + deg g_{n}(T) が最大。 ●それ以外に必要な配列の長さは (n − r + 2)λ − 1 を越えないので、それほど大きくはならない。 ● UBASIC の配列領域等の限界から、通常では p^{n} = 3^{9}, 5^{6}, 7^{5}, ⋯ くらいが限界と思われる。 § 5 応用 ●市村-隅田の判定法（ [IS]、福田-小松、都地）実アーベル体 k に対して、対応する虚アーベル体の岩澤多項式を作用させた円単数を調べることにより、 Greenberg予想の成立を検証する方法。 ●非可換岩澤理論における応用（尾崎、藤井）虚２次体 k と奇素数 p に対して、その岩澤多項式の根から、 k_{∞} の最大不分岐 pro-p 拡大のGalois群の構造が調べられている。計算例（ k : 虚２次体、 p = 3 ) ● k = ℚ(√−239 ) の円分ℤ_{3} 拡大 k_{∞} の岩澤多項式： P (T) ≡ T^{6} + 1284 T^{5} + 1404 T^{4} + 672 T^{3} + 1764 T^{2} + 1128 T mod 3^{7} ● k = ℚ(√−3 ∗ 39345017 ) の円分ℤ_{3} 拡大 k_{∞} の岩澤多項式： P (T) ≡ T^{6} + 2175 T^{5} + 1737 T^{4} + 1596 T^{3} + 621 T^{2} + 936 T + 1917 mod 3^{7} 市村-隅田の判定法により、実２次体 ℚ(√39345017 ) の円分ℤ_{3} 拡大に対して、 Greenberg予想の成立が確かめられる。