% ASCII jtex
% EUC

\def\Res{{\rm Res}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\mod{\negthinspace\negthinspace\negthinspace\negthinspace\pmod}
\def\erfc{{\rm erfc}}
\font\EU=eufm10
\def\ep{\mbox{\EU p}}
\font\EUS=eufm8
\def\eps{\mbox{\EUS p}}
\def\ds{\displaystyle}
\font\MSAM=msam10
\def\leqq{\,\mbox{\MSAM\symbol{"35}}\,}
\def\geqq{\,\mbox{\MSAM\symbol{"3D}}\,}

\documentstyle[12pt]{jarticle}
\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large ����Ū����������Ѥ�������׻�}
\bigskip

{\large ��¼���򡡡��ɱ���}
\end{center}

\section {Introduction}

Computational algebraic number theory �ˤ�����,\ 
ͭ�¼�����Τ�����׻��Ͻ��פʲ����$1$�ĤǤ���.
���̤��Τ�Ŭ�Ѥ�����̾����ˡ��,\ 
�����Τˤ����� norm ������(Minkowski bound(�β���))�ʲ���(��)ideal ��
���٤Ƶ��,\ ������ ideal ��δ֤δط���Ĵ�٤�Ȥ�����ΤǤ���.
������ˡ��ºݤ� computer ��� implement ����ΤϤ��ʤ����ѤǤ��뤬,\ 
���Ǥˤ����Ĥ����������η׻� system (KANT �ʤ�)�ˤ�
������ˡ�� implement �����׻� program ���ޤޤ�Ƥ���.
�����Ǥ�,\ ����Ū����������Ѥ�������׻��ˤĤ��� expository �˽Ҥ٤�.

$K$��ͭ�¼�����ΤȤ���Ȥ�,\ $K$�ˤĤ��Ƥβ���Ū��������ȤϤ������
$K$�� Dedekind zeta ȡ�� $\zeta_K(s)$��$s=1$�ˤ�����α����
$K$�������̤�ɽ�����θ�����ؤ�\,:
$$
\Res_{s=1}\zeta_K(s)=\lim_{s\to 1}(s-1)\zeta_K(s)
=\frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}h(K)R(K)}{w(K)\sqrt{|d(K)|}}.
\eqno{(*)}
$$
������,\ �̾�Τ褦��,\ $r_1, r_2\,$�Ϥ��줾��$K$�μ¤���ӵ������θĿ�,\ 
$h(K)$, $R(K), w(K), d(K)$�Ϥ��줾��
$K$�����,\ ñ������,\ $1$���Ѻ��θĿ�,\ Ƚ�̼���ɽ��.
$r_1, r_2, w(K), d(K)$�����Ū�ưפ˷׻��Ǥ���.
�������ä�,\ $(*)$���Ѥ���$h(K)$��׻�����Ȥ���,\ 
\underline{$R(K)$�ϴ��ΤȤ���},\ $\Res_{s=1}\zeta_K(s)$���뤤�Ϥ�������ܤ�
���餫����ˡ�Ƿ׻�����Ȥ������Ȥˤʤ�.

�׻���ˡ�ξܤ��������ϼ���ʹߤǹԤ����Ȥˤ���,\ 
������λĤ�Ǥ�,\ �׻��μ��,\ �׻���ˡ������,\ �������ˤĤ���,\ 
��ñ�ˤޤȤ�Ƥ���.

�ޤ�,\ ����Ū����������Ѥ�������׻��μ���
($R(K)$����ΤȤ���������β���)��ñ�˽Ҥ٤��,\ 
���Τ褦�ˤʤ�:
\begin{itemize}
\item[$1^{\circ}$] $h(K)$(�������)��
$\left\{
\begin{array}{lc}
{\rm Euler }�� & {\rm (P)} \\
(��«��®��)��� & {\rm (S)}
\end{array}
\right.$
��ɽ��.
\item[$2^{\circ}$] $h(K)$�ζ����(��ʬ�Ѥ��뤤����ʬ�¤���)��׻�����.
\item[$3^{\circ}$] $h(K)$����ꤹ��.
\end{itemize}
����ʹߤǤ�,\ ���$1^{\circ}$��(P), (S)��ʬ����,\ 
�ä�(S)�˽������֤���,\ ���ܤ�����������.

����,\ �׻���ˡ�������Ȥ��Ƥ�,\ �ä� computer �Ǥη׻���ռ������,\ 
����$2$�Ĥ��󤲤���:
\begin{itemize}
\item[$\circ$] ®��(few operations).
\item[$\circ$] ɬ�פ� memory ���̤����ʤ�.
\end{itemize}
�������ä�,\ ������ˡ��Ƚ�̼�(��������)���礭���Τ�����׻���Ŭ���Ƥ���,\ 
�Ȥ������Ȥˤʤ�.
(�������,\ �����ü�ʾ���,\ ���Ū���ʤ�����Ū�ʸ��Ϥ�ȯ�����뤳�ȤϤ���.)

�Ǹ��,\ �׻���ˡ���������Ȥ��Ƥ�,\ �ʲ��Τ��Ȥ��󤲤���:
\begin{itemize}
\item[$\circ$] $R(K)$�η׻���ɬ����.
(��������̤���,\ �㤨��$2$���Τ� the simplest cubic fields �ˤĤ��Ƥ��ư�.)
\item[$\circ$] $K$�ˤ������ǿ���ʬ��ˤĤ��Ƥξ���ɬ��.
(���Ū�ư�.
�ä�,\ $K$�� Abel �Τʤ��,\ �������ˤ��狼��.)
\item[$\circ$] ���٤��Ф�������(�ä�(P)).
\item[$\circ$] ���� Riemann ͽ��(GRH)�β���(P).
\item[$\circ$] �ü��ȡ��(��ʬ)���ͤη׻���ɬ��(S).
\end{itemize}

\section {Euler �Ѥ��Ѥ�������׻�(P)}

����׻��˽��� Euler �Ѥ��Ѥ����Τ� D. Shanks �Ǥ���\cite{19}.
����礭��Ƚ�̼������$2$���Τ�����׻��� Euler �Ѥ��Ѥ���.
���̤�����ΤˤĤ��Ƥ�\cite{4}�˾ܤ������Ҥ�����.
�����Ǥϴ�ñ�����������Ҥ٤�.
���ܤˤʤ�Τϼ����ѷ��Ǥ���:
$$
\lim_{s\to 1}(s-1)\zeta_K(s)
=\lim_{s\to 1}(s-1)\zeta(s)\frac{\zeta_K(s)}{\zeta(s)}\\
=\lim_{s\to 1}\frac{\zeta_K(s)}{\zeta(s)}=\prod_pE_p.
$$
������,\ �Ǹ�� Euler ���ҤϤ������\,$\zeta_K(s)$�����\,
$\zeta(s)$�� Euler ���Ҥ���Ǥ���:
$$
E_p=\prod_p\frac{\prod\limits_{\eps\mid p}
(1-N_{K/\Q}\ep^{-1})^{-1}}{(1-p^{-1})^{-1}}.
$$
������,\ �������$p$�Ϥ��٤Ƥ�ͭ���ǿ���ư��,\ 
$\ep$��$p$�ξ�ˤ���$K$�Τ��٤Ƥ��� ideal ��ư��.
�ä�,\ $K$��$2$���Τ�,\ $K$���б������ɸ��\,$\chi$\,�ʤ��,\ 
�����$L(1,\chi)$�� Euler ����$(1-\chi(p)p^{-1})^{-1}$��������.
���θ����˴�Ť���,\ �Ǹ�� Euler �Ѥ�ͭ����ʬ�Ѥ�׻���,\ 
����ˤ��$h(K)$�����櫓�Ǥ��뤬,\ ����������ˤʤ�Τ�
������ʬ�ѤȤθ���ɾ���Ǥ���.
���θ���ɾ���� Cebotarev ��̩�������� effective version ���Ѥ���ΤǤ��뤬,\ 
���������Ƥ�������Τ��� ideal ��ʬ��˴ؤ��� effective �ʾ���
(�㤨��,\ �����ΤǴ���ʬ�򤹤�Ǿ����ǿ��ξ夫���ɾ��)��
($2$���ΤˤĤ��Ƥ���)
���� Riemann ͽ�ۤ��ꤷ�ʤ����,\ ���ꤷ��������٤ƶ�ü�˰���.
���줬���֤������Ǥ���.

�ºݤ˾�θ������Ѥ���$h(K)$�����Ȥ���,\ 
$h(K)$�ζ���ͤ�$\tilde{h}$�Ȥ���,\ 
$$
\frac{1}{\sqrt{2}}\,\widetilde{h}<h(K)<\sqrt{2}\,\widetilde{h}
$$
�Ȥʤ�褦�ˤ�,\ ���줫��Ŭ�ڤ��������(�㤨��,\ $h(K)$�βĽ���)���Ѥ���
$h(K)$�ο����ͤ���ꤹ��,\ �Ȥ�����礬����Ū��ˡ���Ȼפ���.
�Ĥ��Ǥ�,\ ����˴ؤ�����פʻ��ͻ���Ȥ���,\ 
���λ��¤����դ��Ƥ�����.
\begin{itemize}
\item[]
���� Riemann ͽ�ۤ��ꤹ���,\ $K$�� ideal �ෲ�� norm ��
\newline
$12\log^2|d(K)|$�ʲ����� ideal ���������������. (E. Bach \cite{1})
\end{itemize}

\section {������«��®�������ɽ������(S)}

{\bf 3.1 Eckhardt }{\dg �θ���}\cite{10}
\medskip

�ޤ�,\ C. Eckhardt �ˤ����̤������$K$���Ф���
$h(K)$������ɽ��������Ҳ�,\ ��ñ���������褦.
$\lambda\,$��$1$����礭��Ǥ�դμ¿��Ȥ���,\ 
$$
h(K)=\frac{1}{\lambda^{-1}-1}\cdot\frac{w(K)}{2^{r_1}R(K)}
\sum_{m=1}^{\infty}I(m)(F(\lambda m)-\lambda^{-1}F(\lambda^{-1}m)).
$$
������,\ $I(m)$��\,$\zeta_K(s)$�� Dirichlet ����Ȥ���ɽ�����Ȥ��η���:
$$
\zeta_K(s)=\sum_{m=1}^{\infty}I(m)m^{-s}
$$
�Ǥ���,\ ȡ��$F(x)$������Ͼ����˻��ˤʤ뤬,\ ����Ϳ������:
$$
F(x)=F^*(\pi^{r_1/2}(2\pi)^{r_2}|d(K)|^{-1/2}x),\ 
$$
$$
F^*(x)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Re(s)=\sigma}G^*(s)x^{-s}ds,\ 
G^*(s)=\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)^{r_1}\Gamma(s)^{r_2}.
$$
$F(x)$������˸������ʬ���ͤ�α����̵���¤Ȥ���ɽ�����Ȥ��Ǥ���:
$$
F^*(x)=\sum_{j=0}^{\infty}\Res_{s=-j}(G^*(s)x^{-s}).
$$
�����Ǥ�α���ϼ��μ��Ƿ׻�����:
$$
\Res_{s=-j}(G^*(s)x^{-s})
=\sum_{k=1}^{r_1+r_2}\frac{C(-k,j)}{(k-1)!}(-\log(x))^{k-1}x^j.
$$
������,\ $C(k,j)$��$G^*(s)$����$s=-j$�ˤ����� Lorent Ÿ����
$(s+j)^k$�η����Ǥ���:
$$
G^*(s)=\sum_{k=-r_1-r_2}^{\infty}C(k,j)(s+j)^k.
$$
���θ����� key point �� Dedekind zeta ȡ����ȡ��������α�������Ǥ���.
$\xi_K(s)=G(s)\zeta(s),\ 
G(s)=G^*(s)(\pi^{\frac{r_1}{2}}(2\pi)^{r_2}|d(K)|^{-\frac{1}{2}})^s$�Ȥ�����,\ $\zeta_K(s)$��ȡ��������
$$
\xi_K(s)=\xi_K(1-s)
$$
�Ƚ񤱤�.
�ޤ�,\ $\xi_K(s)$��$s=0$�����$s=1$�Τߤ�ˤˤ��,\ ¾�����Ǥ���§��,\ 
�ˤˤ�����α���ϼ�����Ϳ������:
$$
\Res_{s=1}\,\xi_K(s)=\frac{2^{r_1}h(K)R(K)}{w(K)}=-\Res_{s=0}\,\xi_K(s).
$$
������,\ $\sigma, t$��$1$����礭��Ǥ�դμ¿��Ȥ�,\ 
��$s=0$�����$s=1$�򤽤������˴ޤ�褦�ʿޤΤ褦��Ĺ����
\bigskip
%
\begin{figure}[hb]
\setlength{\unitlength}{1mm}
\begin{picture}(140,40)(-40,0)
\put(0,20){\line(0,1){20}}
\put(0,20){\line(1,0){45}}
\put(0,40){\line(1,0){45}}
\put(45,20){\line(0,1){20}}
\put(13,28){\makebox(3,3){${}^{\times}$}}
\put(28,28){\makebox(3,3){${}^{\times}$}}
\put(13,24){\makebox(3,3){$0$}}
\put(28,24){\makebox(3,3){$1$}}
\put(-7,14){\makebox(15,5){$1-\sigma-it$}}
\put(-7,42){\makebox(15,5){$1-\sigma+it$}}
\put(37,14){\makebox(15,5){$\sigma-it$}}
\put(37,42){\makebox(15,5){$\sigma+it$}}
\end{picture}
\end{figure}
%
\newpage
\noindent
$R\,$��Ȥ��,\ α����������
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial R}\xi_K(s)\lambda^{-s}ds
&=&\Res_{s=1}\,\xi_K(s)\lambda^{-s}+\Res_{s=0}\,\xi_K(s)\lambda^{-s}\\
&=&\frac{2^{r_1}h(K)R(K)}{w(K)}(\lambda^{-1}-1)
\end{eqnarray*}
�Ǥ���.
������,\ Ĺ������$4$�Ĥ��վ����ʬ�Τ���,\ 
�岼�μ¼���ʿ�Ԥ�$2$�Ĥ��վ����ʬ�ϤȤ��$t\to\infty$�Ȥ����,\ 
$0$�˶�Ť�.
�����$\,\zeta_K(s)$��Ⱦʿ��
$\,:\,\Re s\geqq\sigma_0\ (\sigma_0\leqq 0)$�ˤ��������ɾ��
$\,:\,|\zeta_K(s)|=O(|\Im s|^{n(\frac{1}{2}-\sigma_0)})\ (n=[K:\Q])$
�����$\,\Gamma(s)$���Ӿ��ΰ�
$(s=\sigma_1+it_1,\,a<\sigma_1<b,\,|t_1|>1)$
�ˤ��������ɾ��
$\,:\,|\Gamma(s)|<
C\exp\left(-\frac{\pi}{2}|t_1|\right)|t_1|^{\sigma_1-\frac{1}{2}}$
(\cite{10}��ʸ������)����Ф�.
�������ä�,\ �����ʬ�ϼ��Τ褦��$2$�Ĥ���ʬ
%($\xi_K(s)$�ε� Mellin �Ѵ�)
�κ��ˤʤ�:
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{\Re=\sigma}\xi_K(s)\lambda^{-s}ds-
\frac{1}{2\pi i}\int_{\Re=1-\sigma}\xi_K(s)\lambda^{-s}ds.
$$
������,\ $\xi_K(s)=G(s)\zeta_K(s)=G(s)\sum_{m=1}^{\infty}I(m)m^{-s}$��,\ 
$\zeta_K(s)$�����η���ľ����,\ 
�¤���ʬ�ν�����ѹ������,\ �����$1$����ʬ��
$$
\sum_{m=1}^{\infty}I(m)\left(
\frac{1}{2\pi i}\int_{\Re=\sigma}G(s)(m\lambda)^{-s}ds\right)
=\sum_{m=1}^{\infty}I(m)F(\lambda m)
$$
�Ȥʤ�,\ ��$2$����ʬ��,\ ȡ���������Ѥ����,\ 
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_{\Re=\sigma}\xi_K(s)\lambda^{s-1}ds
=\lambda^{-1}\sum_{m=1}^{\infty}I(m)F(\lambda^{-1}m)
$$
�Ȥʤ�Τ�,\ �������Ф뤳�Ȥ��狼��.

����������ˤʤ�Τ�,\ ȡ��$F(x)$���ʤ��$F^*(x)$���ͤη׻��Ǥ��뤬,\ 
���٤�$G^*(s)x^{-s}$��ޤΤ褦��Ĺ�����˱�ä���ʬ���뤳�Ȥ�ͤ���:
\bigskip
%
\begin{figure}[hb]
\setlength{\unitlength}{1mm}
\begin{picture}(140,40)(-40,0)
\put(-5,20){\line(0,1){20}}
\put(-5,20){\line(1,0){55}}
\put(-5,40){\line(1,0){55}}
\put(50,20){\line(0,1){20}}
\put(9,28){\makebox(3,3){${}^{\times}$}}
\put(21,28){\makebox(3,3){$\cdots$}}
\put(33,28){\makebox(3,3){${}^{\times}$}}
\put(6,24){\makebox(3,3){$-N$}}
\put(33,24){\makebox(3,3){$0$}}
\put(-14,14){\makebox(15,5){$-N-\frac{1}{2}-it$}}
\put(43,14){\makebox(15,5){$\sigma-it$}}
\end{picture}
\end{figure}
%
\newpage
\noindent
�����,\ ��Ϥ��� Gamma ȡ�����Ӿ��ΰ�ˤ��������ɾ�����Ѥ���,\ 
$t\to\infty$�Ȥ����,\ 
$$
\frac{1}{2\pi i}\left(\int_{\Re=\sigma}G^*(s)x^{-s}ds-
\int_{\Re=-N-\frac{1}{2}}G^*(s)x^{-s}ds\right)
=\sum_{j=0}^{N}\Res_{s=-j}(G^*(s)x^{-s})
$$
�Ȥʤ뤳�Ȥ��狼��.
������,\ �����$N\to\infty$�Ȥ����,\ 
$F^*(x)$���ͤ�α����̵���¤�ɽ��������������.
($\Gamma(s)$��ȡ������$\,\Gamma(s)=\Gamma(s+1)/s\,$���Ѥ����,\ 
���դγ�������$2$�ब$N\to\infty$�ΤȤ�,\ 
$0$�˶�Ť����Ȥ��ưפ˳Τ������.)
��������,\ $G^*(s)x^{-s}$��α���򤤤��˷׻����뤫���Ĥä�.
�ޤ�,\ $G^*(s)$��$s=-j$���濴�Ȥ��� Lorent Ÿ����$(s+j)^{-1}$�η�����
$C(k,j)$�Ȥ����,\ $G^*(s)x^{-s}$��α������˽Ҥ٤��褦���¤ˤʤ뤳�Ȥ�,\ 
$$
x^{-s}=x^je^{-(s+j)\log x}
=x^j\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-\log x)^k}{k!}(s+j)^k
$$
���Ѥ���Ȥ狼��.
����椨,\ $G^*(s)$��$s=-j$���濴�Ȥ��� Lorent Ÿ������ޤ�Ф褤�櫓�Ǥ���.
������������Ƿ׻������.
�ܤ����׻��Ͼʤ���,\ ���� Gamma ȡ���β�����³���п���ʬ�ˤĤ��Ƥ�
���λ��¤��Ѥ���Ф褤���Ȥ����դ��褦:
$$
\frac{\Gamma'}{\Gamma}(s)=
-\gamma+\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{1}{m+1}-\frac{1}{s+m}\right).
$$
���ʤ��,\ $\Gamma(1)=1,\,\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$��
poly Gamma ȡ��(�п���ʬ�ιⳬ��ʬ)����,\ 
$\Gamma(s),\,\Gamma(\frac{s}{2})$��,\ �������ä�$G^*(s)$��
$s=1$���濴�Ȥ��� Taylor Ÿ������ޤ�,\ 
���줫��$\Gamma(s)=\Gamma(s+1)/s$�򤯤꤫�����Ѥ��뤳�Ȥˤ��,\ �缡,\ 
$s=0$���濴�Ȥ��� Lorent Ÿ��,\ $s=-1$���濴�Ȥ��� Lorent Ÿ��,\ $\cdots$
����ޤ�.

���줫��,\ Dedekind zeta ȡ���η���$I(m)$�ˤĤ���.
����Ͼ�ˡŪ�ʤΤ�,\ �����ͤ��ǿ��ѤǤ��ͤ���,\ �Ȥ߹�碌��Ū�˷׻������.

�ޤ�,\ Eckhardt ��$K$�μ���$n$�Τߤ˰�¸�������$C$��¸�ߤ���,\ 
$N>$\newline
$C|d(K)|^{1/2}\log|d(K)|^{n/2}$�ʤ��,\ 
�����ˤ�����������$N\,$��ʬ�¤��֤���������Τ�,\ 
$h(K)$�Ȥκ���$\,\frac{1}{2}\,$��꾮�����ʤ뤳�Ȥ�������Ƥ���.

�Ǹ��,\ �ºݤ˸������Ѥ�������׻��ˤĤ���.
Eckhardt �θ�����$G^*(s)=\Gamma(s/2)^{r_1}\Gamma(s)^{r_2}$��
$s=-j$���濴�Ȥ��� Lorent Ÿ���η�����
$\,\zeta_K(s)$�η�������� program �����ޤ�������,\ 
implementation �Ϥ��ۤ��񤷤��ʤ��Ȼפ���.
������,\ ����������֤���뤿��,\ ���٤����ˤ�����.
Eckhardt �Ϥ����Ĥ���$5$���Τ�����򾮤�������
(Ƚ�̼�(��������)���礭��$5$���ΤˤĤ���,\ $0.1$�ʲ�)
�Ƿ׻��Ǥ������Ȥ�Ҥ٤Ƥ���.
������,\ ���̤��ΤˤĤ���,\ $\lambda\,$��ɤ��Ȥ뤫,\ 
�������ʬ�¤�ɤ��ޤǷ׻����뤫,\ �ʤ�����ʤ��Ȥξܺ٤������Ǥ���.
��Υɥ��ĸ�γذ���ʸ�ˤϽ񤤤Ƥ���ΤǤ�������,\ 
\cite{10}�����Ǥ�,\ �ºݤ� implementation �ˤ� data ��­�Ǥ���.
���,\ ȡ��$F(x)$��ɸ��Ū���ü�ȡ����ɽ�������Ȥ���,\ 
����$3$�Ĥ�󤲤Ƥ���:
\begin{itemize}
\item[$\circ$] $K\,$����$2$���ΤΤȤ�,\ 
$F(x)=\exp\left(-2\pi\frac{x}{\sqrt{|d|}}\right).$
\item[$\circ$] $K\,$����$2$���ΤΤȤ�,\ 
$F(x)=4K_0\left(2\pi\frac{x}{\sqrt{|d|}}\right).$
\item[$\circ$] $K\,$������$4$���ΤΤȤ�,\ 
$F(x)=2K_0\left(4\pi\left(\frac{x}{\sqrt{|d|}}\right)^{1/2}\right).$
\end{itemize}
������,\ $d=d(K)$�Ǥ���,\ $K_0$�ϰ̿�$0$���ѷ� Bessel ȡ����ɽ��.
ɮ�Ԥ�,\ $K$����$2$���Τξ���,\ C�� implement ���Ƥߤ���,\ 
Ƚ�̼�(��������)���礭���Ȥ����Ǥ�,\ �������礭��,\ 
�ʲ�3.3�ǽҤ٤���ˡ����Ӥ��Ƥ�¹Ի��֤����ʤ�¿���ä�.
\bigskip

{\dg 3.2 ����������«��®�������ɽ������.}

S. Louboutin\cite{12} ��ͭ�¼�����Τ����� Galois ����$K/k\,$�ˤĤ���,\ 
�����������$h(K)/h(k)$������ɽ�����������Ƥ���\,:
$$
\frac{\Res_{s=1}\zeta_K(s)}{\Res_{s=1}\zeta_k(s)}=
c_{K/k}A_{K/k}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\phi_n}{n}
K_{(a,b,c)}\left(\frac{n}{A_{K/k}}\right).
$$
�����������ܤ������Ƥ����Ĺ���ʤ�Τ�,\ 
�����Ǥ�$c_{K/k},\ A_{K/k}\,$��$K$�����$k$�ˤ����ޤ����,\ 
$\phi_n$��$\,\zeta_K(s)/\zeta_k(s)$(���ξ��,\ �������ȡ��)��
Dirichlet ����Ȥ���ɽ�����Ȥ���$n^{-s}$�η���,\ 
$a,\,b,\,c$��$K$�����$k\,$�ˤ����ޤ���Ǥʤ�ͭ������,\ 
$K_{(a,b,c)}(x)$��$a,\,b,\,c$�� Gamma ȡ�����Ѥ���ɽ����뤢������ʬ�Ǥ���
���Ȥ����դ���ˤȤɤ��.
���,\ �ä�$K/k$\,�� CM-����Ǥ������,\ ���θ������Ѥ���,\ 
$K$���������$h^*(K)$��׻�������ˡ�ξܺ٤ˤĤ���Ĵ�٤Ƥ���,\ 
�ºݤˤ��θ������Ѥ���,\ ¿����$4$�������� CM-�Τ�$\Q$��$4$��������
($\Q$��$4$�������� Galois ���Ȥ��� Galois ����)�Ǥ��� CM-�Τ�
��������η׻���Ԥ�,\ CM-�Τ�����������Ω�ƤƤ���
(\cite{13}�Ȥ����˰��Ѥ���Ƥ���ʸ������).
���κ�,\ Eckhardt �θ����Τ褦��,\ ��ʬ��α����̵���¤�ɽ����,\ 
ͭ����ʬ�¤Ƕ���ͤ�׻������ˡ���Ѥ��Ƥ���.
(���Τ���,\ ���٤��ɤ��ʤ�.)
\bigskip

{\dg 3.3 $L$-ȡ�����«��®�������ɽ������.}

���Τ褦�ʸ�����Ϳ��,\ �����ºݤ�����׻����Ѥ����Τ�
�����餯 M. Lerch �����ƤǤ���\cite{11}.
M. R. Barrucand �ϰ��̤�ȡ��������ߤ���(��§��) Dirichlet �����
�޼�«������(��ή��Ķ�������)��ɽ�����������Ƥ���\cite{3}.
�����Ǥ�,\ ��ñ�Τ����,\ Ƴ��$f\,$�� Dirichlet ��ɸ$\,\chi(\ne 1)$���տ魯��
$L$-ȡ��$L(s,\chi)$��$1$�Ǥ��ͤ��«��®�������ɽ��������Ƴ��,\ 
�׻��δ��������������ä���.
������$L$-ȡ����ȡ�������ξ����˸������ʬɽ���Ǥ��뤳�Ȥ�,\ 
����Ʊ�ͤǤ���.

�ޤ�,\ $L$-ȡ����ȡ������������������.
$$
\Lambda(s,\chi)=A^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s+\delta}{2}\right)L(s,\chi),
$$
�Ȥ���.
������,\ 
$$
A=\frac{\pi}{f},\ 
\delta=\frac{1-\chi(-1)}{2}=
\cases{$0$ & $\chi\,$�����ΤȤ�, \cr $1$ & $\chi\,$����ΤȤ�. \cr}
$$
���ΤȤ�,\ $L(s,\chi)$��ȡ��������
$$
\Lambda(s,\chi)=W_{\chi}\Lambda(1-s,\overline{\chi})
$$
�Ƚ񤱤�.
������,\ $W_{\chi}$��$\,\chi\,$�˴ؤ��� Gauss ����
$$
\tau(\chi)=\sum_{a=1}^{f}\chi(a)e^{2\pi ia/f}
$$
���Ѥ���ɽ�����������$1$��ʣ�ǿ��Ǥ���:
$$
W_{\chi}=\frac{\tau(\chi)}{\sqrt{f}\,i^{\delta}}.
$$
����,\ $\,\chi\,$���տ魯�� theta ȡ����$\,\theta(t,\chi)$��ɽ����:
$$
\theta(t,\chi)=\sum_{n=1}^{\infty}\chi(n)n^{\delta}e^{-n^2At}.
$$
�����,\ $\theta(t,\chi)$�ϼ���ȡ��������ߤ������Ȥ��ưפ˳Τ������:
$$
\theta(t,\chi)=
W_{\chi}\,\theta(t^{-1},\overline{\chi})\,t^{\frac{1}{2}-\delta}.
$$
(���Ȥ���,\ \cite{9}����.)
���λ��¤��Ѥ����,\ $\Lambda(s,\chi)$�ϼ��Τ褦���ѷ������:
\begin{eqnarray*}
\Lambda(s,\chi)&=&
\int_{0}^{\infty}A^{-\frac{s}{2}}
\sum_{n=1}^{\infty}\chi(n)n^{-s}e^{-x}x^{\frac{s+\delta}{2}-1}dx\\
&=&\int_{0}^{\infty}\theta(t,\chi)A^{\frac{\delta}{2}}
t^{\frac{s+\delta}{2}-1}dt\ (x=n^2At���ִ�)\\
&=&\int_{1}^{\infty}\theta(t,\chi)A^{\frac{\delta}{2}}
t^{\frac{s+\delta}{2}-1}dt
+W_{\chi}\int_{1}^{\infty}\theta(t,\overline{\chi})A^{\frac{\delta}{2}}
t^{-\frac{1+s+\delta}{2}}dt\\
&=&\sum_{n=1}^{\infty}\chi(n)\int_{1}^{\infty}e^{-n^2At}
(n\sqrt{A})^{\delta}t^{\frac{s+\delta}{2}-1}dt\\
&+&W_{\chi}\sum_{n=1}^{\infty}\overline{\chi}(n)\int_{1}^{\infty}e^{-n^2At}
(n\sqrt{A})^{\delta}t^{-\frac{1+s+\delta}{2}}dt.
\end{eqnarray*}
������,\ $\,\chi\,$������ɸ�Ǥ������,\ ���ɸ�Ǥ������ʬ����.
\newline
\indent
$\,\chi\,$������ɸ�Ǥ�����,\ ��˼���$1$����������,\ �ִ���Ԥ���,\ 
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\Lambda(1,\chi)=
A^{-\frac{1}{2}}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)L(1,\chi)
=\sqrt{f}L(1,\chi)}\\
&=&\sqrt{f}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n}\cdot\frac{2}{\sqrt{\pi}}
\int_{n\sqrt{A}}^{\infty}e^{-x^2}dx
+W_{\chi}\sum_{n=1}^{\infty}\overline{\chi}(n)
\int_{n^2A}^{\infty}\frac{e^{-x}}{x}dx\\
&=&\sqrt{f}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n}\,\erfc(n\sqrt{A})
+W_{\chi}\sum_{n=1}^{\infty}\overline{\chi}(n)E_1(n^2A)
\end{eqnarray*}
�Ȥʤ�,\ $\,\chi\,$�����ɸ�Ǥ������
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\Lambda(1,\chi)=
A^{-\frac{1}{2}}\Gamma(1)L(1,\chi)
=\sqrt{\frac{f}{\pi}}\,L(1,\chi)}\\
&=&\frac{1}{\sqrt{A}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n}e^{-n^2A}
+\sqrt{\pi}\,W_{\chi}\sum_{n=1}^{\infty}\overline{\chi}(n)\cdot
\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{n\sqrt{A}}^{\infty}{e^{-x^2}}dx\\
&=&\frac{1}{\sqrt{A}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n}e^{-n^2A}
+\sqrt{\pi}\,W_{\chi}\sum_{n=1}^{\infty}\overline{\chi}(n)\erfc(n\sqrt{A})
\end{eqnarray*}
�Ȥʤ�.
������,\ $\erfc(x)$�ϸ���ȡ������ȡ���Ǥ���,\ 
$E_1(x)$�Ϥ�����ؿ���ʬ��$1$��Ǥ���:
$$
\erfc(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}{e^{-x^2}}dx,\ 
E_1(x)=\int_{x}^{\infty}\frac{e^{-x}}{x}dx.
$$
�����ϤȤ��ͭ̾��ȡ����,\ ���η׻���ˡ��褯�Τ��Ƥ���.
�̾��,\ $x$���礭���˱�����,\ Ϣʬ�����뤤�ϵ�����Ѥ��Ʒ׻�����.
�ޤ�,\ �ɤ�ͭ��������ʤɤ��Τ��Ƥ���.
(���Ȥ���,\ \cite{2,16}����. �����Ǥ�C�� program �� source ��Ϳ�����Ƥ���.)

����,\ ����������줿�櫓�Ǥ��뤬,\ ���⤽��$L(1,\chi)$�ˤĤ��Ƥ�,\ 
ͭ���¤�ɽ���������Τ��Ƥ���:
\begin{eqnarray*}
&\ds L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}
\sum_{a=1}^{f}\overline{\chi}(a)\log|1-\zeta_f^a|\ 
&\chi\,������,\ \chi\ne 1�ΤȤ�,\\
&\ds L(1,\chi)=\pi i\frac{\tau(\chi)}{f}\frac{1}{f}
\sum_{a=1}^{f}\overline{\chi}(a)a\ 
&\chi\,����ΤȤ�.
\end{eqnarray*}
����,\ �����θ������Ѥ�����׻���Ψ���ɤ��ʤ���а�̣���ʤ�.
�ޤ�,\ $K$�� Abel �Τ�,\ $X$��$K$���տ魯���ɸ���Ȥ����,\ 
$$
\Res_{s=1}\zeta_K(s)=
\prod_{{\scriptstyle \chi\in X}\atop{\scriptstyle \chi\ne 1}}L(s,\chi)
$$
�Ǥ��뤫��,\ $L(1,\chi)\,(\chi\in X,\,\chi\ne 1)$(��$R(K)$)���ͤ�
���٤Ƥ狼���,\ $h(K)$���狼��櫓�Ǥ��뤬,\ 
�Ѥ�Ȥ�Τ�,\ �������⤯�ʤ�ۤ�,\ �׻����٤�����ˤʤ�.
������,\ �����Ͼ�ά���뤬,\ ��ʬ�¤Ȥθ���ɾ���ˤĤ��Ƥ�Ҥ٤Ƥ�����.
���$L(1,\chi)$������ɽ����������,\ ��$N\,$��ʬ�¤ޤǵ�᤿��Τ�
$\widetilde{L}\,$��ɽ����,\ $\chi\,$��$1$�Ǥʤ�����ɸ�ΤȤ�,\ 
�ưפ�
$$
|L(1,\chi)-\widetilde{L}|<\frac{\sqrt{f}}{A\pi N^3}e^{-AN^2}
=\frac{f^{3/2}}{\pi^2 N^3}e^{-\pi N^2/f}
$$
��������.
���α��դ�$E(N)$�Ȥ�����,\ 
$$
N\geqq\sqrt{\frac{f\log f}{2\pi}}\ \Longrightarrow\ 
E(N)\leqq\frac{1}{\sqrt{\pi f}(\log \sqrt{f})^{3/2}}
=\sqrt{\frac{8}{\pi}}\cdot\frac{1}{\sqrt{f(\log f)^3}}.
$$
�ޤ�,\ ���ɸ$\,\chi\,$�ˤĤ��Ƥ�,\ $L(1,\chi)$�������,\ 
$B_{1,\,\chi}=\ds -\frac{\sqrt{f}}{\pi W_{\overline{\chi}}}L(1,\chi)$
�ǹͤ���,\ 
������$N\,$��ʬ�¤ޤǵ�᤿��Τ�$\widetilde{B}\,$��ɽ����,\ 
$$
|B_{1,\,\chi}-\widetilde{B}|<\frac{E(N)}{N}
$$
������Ω��.
����餫��,\ ���̤� Abel ��$K$�ˤĤ���,\ $h(K)$��׻����뤿��ˤ�
$N$��ɤ��Ȥ�н�ʬ�Ǥ��뤫�Ȥ������Ȥ�,\ 
$h(K)$���ͤ�ɾ���ʤ��ˤϤ狼��ʤ���,\ 
$2$���ΤˤĤ��Ƥ�,\ $h(K)$���ͤ�ɾ���ʤ���,\ 
���Τ褦��$N$�� explicit ��Ϳ���뤳�Ȥ���ǽ�Ǥ���.
$K$��$2$���ΤȤ�,\ $\chi\,$��$K$���տ魯���ɸ�Ȥ���,\ 
��θ�������$N\,$��ʬ�¤��Ѥ���������
$h(K)$�ζ���ͤ�$\widetilde{h}\,$��ɽ����,\ 
$K$�����ΤȤ���
$$
N>\sqrt{\frac{f\log f}{2\pi}}\ \Longrightarrow\ 
|h(K)-\widetilde{h}|<\frac{1}{2}
$$
�Ǥ���,\ $K$���¤ΤȤ���
$$
l=-\log(R(K)\sqrt{A}),\ L=\max\{1, l\}
$$
�Ȥ����,\ 
$$
N>\sqrt{\frac{Lf}{\pi}}\ \Longrightarrow\ 
|h(K)-\widetilde{h}|<\frac{1}{2}
$$
�Ǥ���.
������,\ ��$2$���ΤˤĤ���\cite{24}�ˤ��뵭�Ҥ����椫��ְ�äƤ���,\ 
�������ʤ���лȤ��ʤ����Ȥ����դ��Ƥ�����(����ˤĤ��Ƥ����Ԥ��̹��).
�ޤ�,\ \cite{5}�ˤ����Ƥ�,\ ������Ҳ𤷤Ƥ����ʤ���,\ 
��ʬ�¤�ɤ��ޤǷ׻�����Ф褤���ˤĤ��Ƥ�,\ 
��$2$���Τξ��ˤ����Ҥ٤Ƥ��餺,\ ��$2$���ΤˤĤ��Ƥ�
������ȽҤ٤Ƥ��ʤ����Ȥ����դ���.
�ʤ�,\ ��θ���������Ū�ʸ����Ǥ��ä�,\ �ºݤη׻��Ǥ�
��äȸ������礭���ʤ�Τ�,\ ����Ǥ���Ŭ���ǤϤʤ���,\ 
�Ȥ������Ȥ��ͤ����뤬,\ ����������Ѥ����,\ 
$K$��Ƚ�̼����ǰ���ʬ�򤫤�$h(K)$�ζ��񤬤狼��Τ�,\ 
������$1$��꾮������Ф褯,\ ����Ϥʤ�.
�ޤ�,\ �º�����Ȥ���,\ ���Ϳ����ɾ���˴�Ť���
$\,\widetilde{h}\,$��׻����Ƥߤ��,\ ������$0.1$��ۤ��뤳�Ȥ�
���Ĥ��Τ�����Ƥʤ�.
������,\ ��$2$���Τ���ӵ�$2$���ΤˤĤ���,\ 
��θ������Ѥ�������׻��λ���(time1)��,\ 
��äȤ� popular �Ǥ���$2$������(����)�θĿ����������ˡ�ˤ��
����׻��λ���(time2)�Ȥ�������Ϳ���褦.

\begin{center}
\begin{tabular}{|r|r|rr|r|}
\hline
\vphantom{$\sqrt{d(K)}$}$d(K)$ &$h(K)$ & $\widetilde{h}\,$ &  time1 &  time2 \\
\hline
        $4294967293$ &     2 &     2.000391 &  $5''83$ &  $63''97$ \\
\hline
 $4\cdot 4294967295$ &  4352 &  4351.999946 &  $8''27$ & $307''96$ \\
\hline
       $-4294967295$ & 42240 & 42239.999871 &  $8''65$ &  $39''73$ \\
\hline
$-4\cdot 3221225465$ & 80080 & 80079.999879 & $11''46$ &  $89''21$ \\
\hline
$-4\cdot 4294967293$ & 20248 & 20247.999829 & $16''12$ &         \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\noindent
$\widetilde{h}\,$��,\ ��$2$���Τ���ӵ�$2$���ΤˤĤ���,\ 
���줾��,\ $N=[\sqrt{Ld(K)/\pi}]+1,\,N=[\sqrt{|d(K)|\log |d(K)|/(2\pi)}]+1$
�Ȥ���,\ ����줿�ͤǤ���.
time1, time 2 �Ϸ׻����֤Ǥ��뤬,\ stop watch ��¬�ä���Τ�,\ 
computer �˷�¬��������ΤǤʤ��Τ�,\ ���Τ��ͤǤ���.
(�ֱ�κݤ����ۤ��������Τ�Τ��®���ʤäƤ��뤬,\ 
OS �� version �ΰ㤤�ˤ��.
���Τ� OPENSTEP4.1J �ξ��,\ ���٤Τ� NEXTSTEP3.3J �ξ�����餻��
����줿�ͤǤ���.)
���Ѥ��� machine �� NeXT workstation,\ CPU �� MC68040,\ clock 25MHz ��,\ 
���������Ť��Τ�,\ ���ߤ� machine �ʤ��,\ ����$10$�ܰʾ�®���Ǥ�����.
ȡ��$\erfc(x)$��C�� library �ˤ��ä���Τ��Ѥ�,\ 
$E_1(x)$�ˤĤ��Ƥ�,\ \cite{2}�ˤ��ä�ͭ��������Τ�Τ��Ѥ���.
��$2$���Τξ��ˤĤ���,\ $R(K)$�Ϥ褯�Τ�줿Ϣʬ�����Ѥ��� algorithm ��
�Ѥ��Ʒ׻�������,\ ����ˤĤ��Ƥϲ��ɤ��줿 algorithm ���Ѥ��Ƥ��ʤ��Τ�,\ 
�����ؤι�®������ǽ�Ǥ���.
��˾夲�����,\ 32 bit machine ��,\ 
¿��Ĺ���Ѥ��ʤ��Ƿ׻��Ǥ���³��᤯������Ǥ���櫓�Ǥ��뤬
($2^{32}=4294967296$),\ 
��ο��ͤ򸫤�Ф狼��褦��,\ 
$2$������(����)�θĿ����������ˡ
(pari-gp �Τ�Τ�������®�����餤�� algorithm ���������Ƥ���)����,\ 
������θ������Ѥ�����������®��.
������,\ ������ٹ礤�������ɤ�.
(��Τ�����ˤĤ��Ƥ������$0.0004$̤��!)
��δѻ��ˤ���,\ Ƚ�̼�(��������)��$10^7$��ۤ�����,\ 
������θ������Ѥ�������®��.

����,\ ������$1$��ʣ�ǿ�$W_{\chi}$�η׻��ˤĤ��ƽҤ٤褦.
$2$���Τξ���$W_{\chi}=1$�Ǥ��뤬,\ ���̤ˤϤ����ǤϤʤ�.
$W_{\chi}$�Ϥ������ Gauss ����$\,\tau(\chi)$������̤�˷׻������,\ 
�����뤬,\ ����Ǥ�$\,\chi\,$��Ƴ��$f\,$���礭���Ȥ���,\ 
���֤�������.
����ʳ�����ˡ�Ȥ��Ƥ�,\ �⤷$\,\theta(1,\overline{\chi})\ne 0$�ʤ��,\ 
theta ȡ����ȡ����������,\ 
$\theta(1,\chi)=W_{\chi}\,\theta(1,\overline{\chi})$�Ǥ��뤫��,\ 
$$
W_{\chi}=\frac{\theta(1,\chi)}{\theta(1,\overline{\chi})}
=\exp\left(2i\arg\left(
\sum_{n=1}^{\infty}\overline{\chi}(n)n^{\delta}e^{-n^2A}\right)\right)
$$
�Ǥ���.
��������׻�����.
������ˡ�� H. L. Montgomery �� idea �Ȥ���,\ \cite{23}�ǾҲ𤵤�Ƥ���.
�����Ǥϸ���ɾ���ˤĤ��Ƥ�Ҥ٤Ƥ���,\ 
�гѤη׻��ˤϵ����$O(f^{1/2}\log f)$��η׻��ǽ�ʬ�Ǥ���Ƚ񤤤Ƥ���.
�ޤ�,\ \cite{14}�Ǥ�,\ ¿���η׻�����,\ ���̤˴��ɸ$\,\chi\,$�ˤĤ���,\ 
$\theta(1,\overline{\chi})\ne 0$�Ǥ������Ȥ���ͽ�ۤ���Ф���Ƥ���.

�����Ǥ�,\ Dirichlet ��$L$-ȡ���ˤĤ��ƤΤ߽Ҥ٤���,\ 
Hecke ��$L$-ȡ���ˤĤ��Ƥ�Ʊ�ͤθ����������,\ 
����׻����Ѥ�����\cite{15}.

\section {����Ū����������Ѥ�������׻��μ�����}
\bigskip

������Ȥ���,\ �����Ǥϼ���$2$�Ĥ���夲��:
\begin{itemize}
\item[1.] Cohen-Lenstra heuristics ���Ф�����ͼ¸�.
\item[2.] Vandiver ͽ�ۤ˴ؤ��뤢��׻���.
\end{itemize}
���Τɤ���ˤĤ��Ƥ�,\ ���� Riemann ͽ��(GRH)���ꤷ�Ƥ� Euler �Ѥη׻�,\ 
�����̵���Ǥζ���׻���ξ�����Ȥ�줿.
������,\ ���̡פ����׻뤵���1�Ǥ�,\ ̵���Ǥη׻������,\ 
���GRH���ꤷ�Ƥη׻��˰ܤä����,\ 
�ּ��פ��Ż뤵���2�Ǥ�,\ ���εդ�,\ �ǽ��GRH���ꤷ�Ƥη׻����Ԥ��,\ 
���̵���Ǥη׻��˰ܤä������夲��.
\bigskip

{\bf 4.1 Cohen-Lenstra heuristics }{\dg ���Ф�����ͼ¸�}

����ˤĤ��ƤϹֱ�κݤˤϼ��夲�ʤ��ä���,\ 
��̣��������Ǥ���Τ�,\ ����Ƥ���.
Cohen-Lenstra heuristics �Ȥ�,\ H. Cohen �� H. W. Lenstra., Jr. �ˤ��
��Ф��줿����Τ��ෲ�� good part ��ʬ�ۤ˴ؤ���
heuristic ��ͽ�ۤǤ���\cite{6}.
���δ���Ū�� idea ��,\ �ෲ�� good part(ʬ����̵�ط�����ʬ)�ˤĤ��Ƥ�,\ 
�������μ���Ʊ�����ΰ̿��εտ���ŤߤȤ���,\ random ��ʬ�ۤ��������,\ 
�Ȥ�����ΤǤ���.
���줬���Τޤ�Ŭ�Ѥ����Τϵ�$2$���Τξ��Ǥ��ä�,\ 
���̤�(Abel)�ΤˤĤ��Ƥ�,\ ñ�����θ����������ɬ�פȤʤ�.
������ͽ��(����� H. Cohen �� J. Martinet �ˤ�뤽�ΰ��̲�\cite{7})�ˤ�����,\ 
�ෲ��ʬ�ۤ򼨤�����
(�㤨��,\ ��������뼫����$m$�ǳ���ڤ���Τγ��(�ζ˸�))��,\ 
��¸��������Τ� data ������������ͤˤ褯 match ���Ƥ���.
�ܺ٤�ʸ���򻲾Ȥ��Ƥ�餦���Ȥˤ���,\ 
�����Ǥϼ�$2$����$\Q(\sqrt{p})$($p$\,:\,�ǿ�)�����$1$�Ǥ����Ψ��
����Ū����������Ѥ��Ƹ��ڤ�����ΤˤĤ���,\ ��ñ�˾Ҳ𤹤�.
Cohen-Lenstra heuristics �ˤ���,\ 
$\Q(\sqrt{p})$($p$\,:\,�ǿ�)�����$1$�Ǥ����Ψ��
$$
\frac{1}{2\prod\limits_{k\geqq 2}\zeta(k)\prod\limits_{i\geqq 1}(1-2^{-i})}
=0.75446\dots
$$
�Ǥ���.
M. Tennenhouse �� H. C. Williams �ϲ���Ū����������Ѥ���,\ 
$p<10^8$�ˤĤ���,\ $h(\Q(\sqrt{p}))=1$�γ���Ĵ�٤�\cite{21}.
(�ܤ�����ˡ�ˤĤ��Ƥ�,\ \cite{21}�˰��Ѥ���Ƥ���ʸ���򻲾ȤΤ���.)
���θ�,\ A. G. Stephens �� H. C. Williams ��
�����$p<10^9$�ޤǳ�ĥ����\cite{20}.
������,\ �׻�����û�̤Τ���,\ GRH���ꤷ��,\ Euler �Ѥ��Ѥ��Ƥ�����׻������
ñ������׻���Ԥä�.
������Ĵ���ˤ���,\ $h(\Q(\sqrt{p}))=1$�γ��� data ���̤����äȤȤ��,\ 
Cohen-Lenstra heuristics �ˤ������ͤ�ñĴ�������ƶ�Ť��Ƥ���.
����,\ $p\equiv 1\mod 4,\,p<10^9\,$��,\ 
$0.7608267\dots$�Ǥ���,\ 
$p\equiv 3\mod 4,\,p<10^9\,$��,\ 
$0.7618217\dots$�Ǥ���.
\bigskip

{\bf 4.2 Vandiver }{\dg ͽ�ۤ˴ؤ��뤢��׻���}

���Ū�������ˤ�,\ ��������Ū���򤬴����ʤ��Ȥ���,\ ��̾�⤤
����ͽ�ۤ�����:

\proclaim Vandiver ͽ��.
{$p$����ǿ��Ȥ���Ȥ�,\ $p$ʬ�Τκ������ʬ��$\Q(\zeta_p+\zeta_p^{-1})$��
�����$p$�ǳ��ʤ�.}

\noindent
����ͽ�ۤ��ľ�˾����Ǥ��ʤ����Ȥ����ͤ�����ФƤ����Ȼפ��뼡��$2$�Ĥ�
����Ф���ȿ�㤬����Ū����������Ѥ�������׻��ˤ��Ϳ����줿.

\proclaim ��1.
{$p$����ǿ��Ȥ���Ȥ�,\ $h(\Q(\zeta_p+\zeta_p^{-1}))<p$�ǤϤʤ���?}

\proclaim ��2.
{$p$����ǿ��Ȥ���Ȥ�,\ $h(\Q(\zeta_p+\zeta_p^{-1}))$�Τ��٤Ƥ�
�ǰ�����$p$��꾮�����ΤǤϤʤ���?}

G. Cornell �� L. C. Washington \cite{8} �ϰ��� Riemann ͽ�ۤβ���β���,\ 
Euler �Ѥ��Ѥ����׻��ˤ�ä�,\ �ǿ�$p=11290018777$�ˤĤ���,\ 
$p$ʬ�Τκ������ʬ�Τ������$p$����礭�����Ȥ򼨤���.
�����,\ ����$2$����ʬ�Τ����$h_2\,$��$2685=3\cdot 5\cdot 179$�Ǥ���
(�����̵���),\ 
����$3$����ʬ�Τ����$h_3\,$��$h_2h_3>1.014p$��ߤ�������
(����ɾ���κݤ�,\ Euler �Ѥ�ɾ����GRH����)����,\ 
$p$ʬ�Τκ������ʬ�Τ������$p$����礭��
�Ȥ������Ȥ򼨤����櫓�Ǥ���.
���θ�,\ E. Seah, L. C. Washington �� H. C. Williams \cite{18} ��,\ 
3.3�ǽҤ٤���ˡ�ˤ��$h_3$�η׻���Ԥ�,\ 
$h_3=6209212=4\cdot 223\cdot 6961$�Ǥ��뤳�Ȥ�����.
�������ä�,\ $h_2h_3\simeq 1.473p$�Ǥ��뤫��,\ 
̵���Ǿ����1���Ф���ȿ�㤬����줿�櫓�Ǥ���.
������,\ �������2���Ф���ȿ��ˤϤʤäƤ��ʤ�.
���θ�,\ R. Schoof �� L. C. Washington \cite{17} ��,\ 
��Ϥ�3.3�ǽҤ٤���ˡ�ˤ��,\ �ǿ�$p=641491$�ˤĤ���,\ 
$p$ʬ�Τκ������ʬ�Τ�$5$����ʬ�Τ�������ǿ�$1566401$�Ǥ��뤳�Ȥ�Τ��᤿.
�������ä�,\ ����$p$ʬ�Τκ������ʬ�Τ�����Ϥ�����ǰ����ˤ��.
����������������2���Ф���ȿ���Ϳ���뤳�Ȥ���������.

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem[1]{1} E. Bach :
{\it Explicit bounds for primality testing and related problems,}
Math. Comp.
{\bf 55} (1990), no. 191, 355--380;
MR 91m:11096.

\bibitem[2]{2} L. Baker :
{\it C Mathematical function handbook,}
McGraw-Hill, Inc., 1992;
(���ܸ���) : C������شؿ��ϥ�ɥ֥å� (���Ĺ���Ϻ��),
����ɾ����, ���, 1993.

\bibitem[3]{3} P. Barrucand :
{\it Sur certaines s\'eries de Dirichlet,}
C. R. Acad. Sci. Paris S\'er. A-B
{\bf 269} (1969), A294--A296;
MR {\bf 40} \#101.

\bibitem[4]{4} J. Buchmann and H. C. Williams :
{\it On the computation of the class number of an algebraic number field,}
Math. Comp.
{\bf 53} (1989), no. 188, 679--688;
MR 90a:11128.

\bibitem[5]{5} H. Cohen :
{\it A course in computational algebraic number theory,}
Graduate Texts in Math., vol. 83,
Springer-Verlag, New York and berlin, 1993;
MR 94i:11105.

\bibitem[6]{6} H. Cohen and H. W. Lenstra, Jr. :
{\it Heuristics on class groups of number fields,}
Number theory (Noordwijkerhout, 1983) (H. Jager, ed.),
Lecture Notes in Math., vol. 1068,
Springer-Verlag, New York and Berlin, 1984, pp. 33--62;
MR 85j:11144.

\bibitem[7]{7} H. Cohen and J. Martinet :
{\it Class groups of number fields; numerical heuristics,}
Math. Comp.
{\bf 48} (1987), no. 177, 123--137;
MR 88e:11112.

\bibitem[8]{8} G. Cornell and L. C. Washington :
{\it Class numbers of cyclotomic fields,}
J. Number Theory
{\bf 21} (1985), no. 3, 260--274;
MR 87d:11079.

\bibitem[9]{9} H. Davenport :
{\it Multiplicative number theory. Second edition.
Revised by H. L. Montgomery,}
Graduate Texts in Math., vol. 74,
Springer-Verlag, New York and Berlin, 1980;
MR 82m:10001.

\bibitem[10]{10} C. Eckhardt :
{\it Computation of class numbers by an analytic method,}
J. Symb. Comput.
{\bf 4} (1987), no. 1, 41--52;
MR 89b:11089;
reprinted in {\it Algorithmic methods in algebra and number theory,}
(M. Pohst, ed.), Academic Press, London, pp. 41--52.

\bibitem[11]{11} M. Lerch :
{\it Sur le nombre des classes de formes quadratiques binaires
d'un discriminant positif fondamental,}
Journ. de Math. (5)
{\bf 9} (1903), no. 4, 377--401.

\bibitem[12]{12} S. Louboutin :
{\it Calcul des nombres de classes de corps de nombres,}
Pacific J. Math.
{\bf 171} (1995), no. 2, 455--467;
MR 97a:11176.

\bibitem[13]{13} S. Louboutin :
{\it Computation of relative class numbers of CM-fields,}
Math. Comp.
{\bf 66} (1997), no. 219, 1185--1194.

\bibitem[14]{14} S. Louboutin :
{\it Computation of relative class numbers of imaginary abelian number fields,}
Experimental Math.,
to appear.

\bibitem[15]{15} S. Louboutin :
{\it Computation of relative class numbers of CM-fields
by using Hecke $L$-functions,}
preprint, 1997.

\bibitem[16]{16} W. H. Press, B. P. Flannery,
S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling :
{\it Numerical recipes in C,}
Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1988;
MR 89b:65001a;
(���ܸ���) : (ð�ľ���, ��¼��ɧ, ��ƣ��Ϻ, ��������),
����ɾ����, ���, 1993.

\bibitem[17]{17} R. Schoof and L. C. Washington :
{\it Quintic polynomials and real cyclotomic fields with large class number,}
Math. Comp.
{\bf 50} (1988), no. 182, 543--556;
MR 89h:11067b.

\bibitem[18]{18} E. Seah, L. C. Washington, and H. C. Williams :
{\it The calculation of a large cubic class number
with an applicaiton to real cyclotomic fields,}
Math. Comp.
{\bf 41} (1983), no. 163, 303--305;
MR 84m:12008.

\bibitem[19]{19} D. Shanks :
{\it Class number, a theory of factorization, and genera,}
1969 Number Theory Institute (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XX,
State Univ. New York, Stony Brook, N. Y., 1969),
Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1971, pp. 415--440;
MR {\bf 47} \#4932.

\bibitem[20]{20} A. G. Stephens and H. C. Williams : 
{\it Computation of real quadratic fields with class number one,}
Math. Comp.
{\bf 51} (1988), no. 184, 809--824;
MR 90b:11106.

\bibitem[21]{21} M. Tennenhouse and H. C. Williams
{\it A note on class-number one in certain real quadratic
and pure cubic fields,}
Math. Comp.
{\bf 46} (1986), no. 173, 333--336;
MR 87b:11127.

\bibitem[22]{22} L. C. Washington : 
{\it Introduction to Cyclotomic Fields,}
Graduate Text in Math., vol. 83,
Springer-Verlag, New York and Berlin, 1980;
MR 85g:11101.

\bibitem[23]{23} P. J. Weinberger : 
{\it On small zeros of Dirichlet $L$-functions,}
Math. Comp.
{\bf 29} (1975), no. 129, 319--328;
MR {\bf 51} \#12739.

\bibitem[24]{24} H. C. Williams, and J. Broerre : 
{\it A computational technique for evaluating $L(1,\chi)$ and
the class number of a real quadratic field,}
Math. Comp.
{\bf 30} (1976), no. 136, 887--893;
MR {\bf 54} \#2623.

\end{thebibliography}


\end{document}


